Cinemática Escalar do Ponto Material

<<Baseado nas notas de aula do  Prof. Luiz Ferraz Netto>>

OBS.: Este é um texto teórico que, embora esteja acessível ao Ensino Médio, foi por mim inserido aqui para atender prioritariamente aos alunos das disciplinas introdutórias de Mecânica da Partícula dos cursos de graduação de Engenharia de Produção, Engenharia de Petróleo, Engenharia Mecânica, Eletrônica, Computação e Licenciatura em Física.

I. Conceitos básicos

01. Ponto material - todo corpo cujas dimensões relativas não interferem no estudo de determinado fenômeno.

02. Tempo - ou abscissa temporal t ou ainda 'instante t' - número real que se faz corresponder biunivocamente, mediante certas convenções, à sucessão dos eventos. À origem dos tempos (evento inicial arbitrário) associa-se, por comodidade, t = 0; aos eventos que seguem àquele tomado por O.T. associa-se t > 0 e para aqueles que o precedem, associa-se t < 0.
Intervalo de tempo Dt denota o número de unidades de tempo decorridas entre dois eventos sucessivos e calcula-se por: Dt = t2 - t1, onde t2 e t1 são os instantes associados a esses eventos.

03. Trajetória - para um dado sistema de referência, é a linha contínua S, lugar geométrico dos pontos do espaço geométrico ocupados pelo ponto material no decorrer do tempo.

04. Espaço cinemático - posição ou abscissa linear s é o número real que se faz corresponder biunivocamente aos pontos da trajetória, mediante certas convenções (*), e que se destina a localizar o ponto sobre sua trajetória. O espaço s, só localiza (relativamente à origem arbitrária) o ponto, não indica o sentido de movimento, nem determina quanto o móvel efetivamente 'andou'.

(*) Convenções: considere sobre S o ponto arbitrário O (escolha da origem dos espaços OE) e o ponto U, de modo que a extensão do arco (OU seja adotada como unidade de medida de comprimento (exemplo, (OU = 1 m). Nessas condições, para uma genérica posição P do ponto material, s = (OP/(OU [leia-se: s é a medida do arco (OP na unidade (OU].

05. Movimento - é conceito que se define para o ponto, em relação a um dado sistema de referência. Se sua trajetória é previamente conhecida nesse referencial, o ponto se move sobre ela se sua abscissa linear s variar em função da abscissa temporal t. Isso se indica com:

s = f(t) ou s = s(t)

A expressão que associa biunivocamente a cada valor de t o correspondente valor de s [s = f(t)] é denominada 'lei de movimento', 'lei horária de movimento' ou, corriqueiramente, 'equação horária'.
Se s permanece constante (em relação a t), no referencial em questão, ele é dito em repouso.

06. Espaço percorrido - ou incremento de abscissa Ds, num dado intervalo de tempo Dt é dado por:

Dst1---t2 = s2 - s1

onde s2 é a abscissa (espaço) do móvel no instante t2 e s1 sua abscissa no instante t1.

Num dado intervalo de tempo pode-se ter: Ds > 0, Ds = 0 ou Ds < 0.

07. Velocidade escalar média - num dado intervalo de tempo, é o quociente do espaço percorrido Ds, nesse intervalo de tempo, pela correspondente extensão Dt do intervalo considerado. Esse quociente é, na matemática, reconhecido como 'razão incremental'. 

08. Velocidade escalar - num dado instante t1, é o limite da velocidade escalar média definida entre os instantes t1 e t2, quando o instante t2 torna-se cada vez mais próximo de t1 (o que corresponde dizer que Dt tende para o valor zero). 

Em termos de análise matemática (cálculo diferencial), sendo s = s(t) a função que associa a cada t um e um só s, a velocidade v, no instante genérico t será a derivada da função s = s(t) em relação ao tempo t e escreve-se: v = ds(t)/dt. Recomendamos, a respeito disso, a leitura Os flúxions de Newton em nossa Sala 19. A expressão v = ds(t)/dt que nos permite obter a velocidade escalar do móvel em cada instante de seu movimento denomina-se 'lei de velocidade' ou, "equação da velocidade".

09. Aceleração escalar média - num dado intervalo de tempo de extensão t2 - t1, é o quociente da variação da velocidade do móvel Dv ocorrida entre os instantes t1 e t2 pela extensão desse intervalo de tempo. Equaciona-se:

10. Aceleração escalar - num dado instante t1, é o limite da aceleração escalar média calculada entre os instantes t1 e t2 quando o instante t2 torna-se cada vez mais próximo de t1. No cálculo diferencial, a aceleração escalar será dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo ou pela derivada segunda do espaço em relação ao tempo. Escreve-se:

11. Sentido do movimento - numa trajetória orientada (sistema de coordenadas abscissas s) é assim posto:

12. Comportamento físico - do móvel, durante certo intervalo de tempo Dt é assim caracterizado:

Uniforme - velocidade escalar permanece constante no intervalo considerado (v = cte. não nula);
Acelerado - velocidade escalar cresce, em valor absoluto, no intervalo considerado (v.g > 0);
Retardado - velocidade escalar decresce, em valor absoluto, no intervalo considerado (v.g < 0);
Uniformemente variado - aceleração escalar permanece constante no intervalo considerado (g = cte);
Variado - aceleração escalar experimenta variações no intervalo considerado [g = f(t)].

13. Lei horária - lei de movimento, função horária ou "equação horária" - é a expressão matemática da dependência entre o espaço s e o tempo t. Ela associa a cada t um e um só s (bijetora). Simbolicamente: s = s(t), onde s e t devem ser medidos num sistema coerente de unidades, por exemplo, o Sistema Internacional de Unidades.

Exemplos de leis de movimento, com s em m; t em s: s = t; s = 2t; s = -3t +2; s = 2t2 +3t + 1; s = 4t-1 etc.

14. Tabela horária - é o primeiro passo experimental para a determinação de uma lei horária. Consiste em se tabelar, lado a lado, valores particulares de t com os correspondentes valores obtidos experimentalmente para s.

15. Diagrama horário - é o gráfico cartesiano ortogonal da função s = s(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano s versus t, da dependência entre s e t. Tal gráfico nada tem a ver com a trajetória.

Exemplos dos itens 14 e 15: O estudo do movimento de um 'tatuzinho' ao longo de um tubo plástico forneceu a tabela abaixo. Estabelecer sua lei horária e o correspondente diagrama horário.

16. Abscissa inicial (so) - ou 'espaço inicial' é a abscissa (espaço) que localiza o móvel no instante inicial da contagem dos tempos ( t = 0). No diagrama horário, o ponto A onde a 'curva do diagrama' corta o eixo s tem justamente as coordenas s = so e t = 0.

17. Declividade da curva s(t) no ponto P - correspondente ao instante t1, é numericamente igual á velocidade escalar do móvel no instante considerado.

18. Diagrama da velocidade - é o gráfico cartesiano ortogonal da função v = v(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano v versus t, da dependência entre v e t.

a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da velocidade' e o eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual ao 'espaço percorrido' pelo móvel (Ds) nesse intervalo de tempo.
b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente igual á aceleração escalar do movimento nesse instante.

19. Diagrama da aceleração - é o gráfico cartesiano ortogonal da função g = g(t). É a versão geométrica, no plano cartesiano g versus t, da dependência entre g e t.

a) Nesse diagrama, a área compreendida entre a 'curva da aceleração' e o eixo dos tempos, entre dois instantes do movimento, é numericamente igual á 'variação da velocidade' do móvel (Dv) nesse intervalo de tempo.

b) Nesse diagrama, a declividade da curva no instante t1 é numericamente igual á "sacudida" escalar do movimento nesse instante. A ilustração abaixo refere-se a um movimento variado cuja aceleração escalar varia linearmente com o tempo e, nesse caso, a 'sacudida' (& = dg/dt = tgq) é constante e não nula.